errantes en gris

para los que no están perdidos

Ramanujan y la Cuadratura del Círculo

Ya hace un tiempo os hablé de la increíble historia de Srinivasa Ramanujan, uno de los más grandes matemáticos de toda la historia que demostró un talento innato fascinante.

Squaring the circle. Journal of the Indian Mathematical Society

Pincha en la imagen para ampliar.

Hoy os traigo cómo este peculiar personaje abordó uno de los más recurrentes problemas en la historia de la geometría: la cuadratura del círculo.

A estas alturas, ya todos sabemos en qué consiste ese problema, pero aún así lo recuerdo. Se trata de hallar mediante construcciones  geométricas, tan sólo con regla y compás, el cuadrado que tiene el mismo área que un círculo dado. Este enigma trajo de cabeza a los mejores matemáticos de todas las épocas hasta que finalmente se demostró que era irresoluble.

Obviamente Ramanujan sabía que éste clásico problema carecía de solución (Lindemann había demostrado en 1882 la trascendencia de \pi y con ello la imposibilidad de resolver la famosa cuadratura). Sin embargo, ello no le impidió hacer su propio intento de abordarlo, y haciendo gala de sus impresionantes capacidades, hay que decir que dejó el listón muy alto.

Este es el procedimiento que publicó en el Journal of the Indian Mathematical Society en 1913 con el que consiguió, sólo con regla y compás, como dictan los cánones, alcanzar la increíble aproximación de \pi de:

\pi \approx\sqrt[4]{9^2 +\dfrac{19^2}{22}}=3,1415926525826\dots

¡¡El error es de sólo 0,0000000010072!!

         Sea PQR el círculo de centro O y PR un diámetro suyo. Dividimos el segmento PO en dos y llamamos H a su punto medio y al segmento OR en tres y llamamos T al punto más cercano a R. Dibujamos TQ perpendicular a PR y situamos la cuerda RS = TQ.

         Unimos PS y dibujamos OM y TN paralelas a RS. Situamos la cuerda PK = PM y dibujamos la tangente PL = MN. Unimos RL, RK y KL. Situamos  C de tal forma que RC = RH. Dibujamos CD paralela a KL y llamamos D a su intersección con RL.

         Entonces el cuadrado de lado RD será aproximadamente igual al círculo PQR.

         Para                                      RS^2 = \frac{5}{36} d^2

donde d es el diámetro del círculo.

         Por tanto                             RS^2= \frac {31}{36}d^2

         Pero PL y PK son iguales a MN y PM respectivamente.

         Por tanto                  PK^2=\frac{31}{144}d^2 y PL^2 = \frac{31}{324}d^2

         Luego                        RK^2=PR^2-PK^2=\frac{113}{144}d^2

y                                     RL^2=PR^2+PL^2=\frac{355}{324}d^2

Cuadratura del Círculo-Ramanujan

         Pero                                \frac{RK}{RL}=\frac{RC}{RD}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{113}{355}}

y                                            RC=\frac{3}{4}d

         Por tanto                      RD=\frac{d}{2}\sqrt{\frac{355}{113}}=r\sqrt{\pi}, muy próximo.

         Nota.— Si el área del círculo fueran 140.000 millas cuadradas (≈363.000 km²)  entonces RD es mayor que la longitud correcta aproximadamente por una pulgada (2,54 cm).

 

Journal of the Indian Mathematical Society
Srinivasa Ramanujan



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5 febrero 2011 - Posted by | Curiosidades, Matemáticas |

3 comentarios »

  1. Información Bitacoras.com…

    Valora en Bitacoras.com: Ya hace un tiempo os hablé de la increíble historia de Srinivasa Ramanujan, uno de los más grandes matemáticos de toda la historia que demostró un talento innato fascinante. Pincha en la imagen para ampliar. Hoy os traigo cóm…..

    Trackback por Bitacoras.com | 5 febrero 2011 | Responder

  2. […] Ver también Ramanuján y la Cuadratura del Círculo […]

    Pingback por La increíble historia de Srinivasa Ramanujan « errantes en gris | 7 febrero 2011 | Responder

  3. Ciertamente, admiro a personas como S. Ramanujan que fueron tan inteligentes, visionarios como humilde y modestos, propios de los Seres iluminados que sin dudas fue en este plano como un regalo Divino a nosotros. Gracias Creacion..

    Comentario por Margarita Hernandez | 29 diciembre 2012 | Responder


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