Regla del 37

¿Se os ocurre un número más extraño que el 37? Pues resulta que este número tiene unas ciertas características que lo hacen realmente especial. En concreto me refiero a la regla de divisibilidad del 37.

En primer lugar, los números 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 y 999 son todos divisibles por 37. No sólo eso, sino que si el número es de la forma AAA, se cumple que:

Esto se debe a que

Además, entre cada uno de estos números, tan sólo hay otros dos que sean divisibles por 37, es decir, para saber si un número es divisible por 37, nos bastaría con sumarle o restarle 37 y comprobar si el resultado es de la forma AAA. Por ejemplo, el 542 no puede se divisible por 37 ya que está demasiado cerca del 555, pero el 518 si lo es ya que 

Por otra parte, entre los números de dos cifras sólo son divisibles por 37 el propio 37 y el 74 .

Otra característica, es que si un número ABC es múltiplo de 37, también lo serán los que obtengamos rotando sus cifras, es decir, el BCA y el CAB. Por ejemplo, son múltiplos de 37 tanto el 740, como el 407 y el 074.

Otra posibilidad para comprobar si un número de tres cifras (ABC) es divisible por 37 es realizar la resta  y verificar si el resultado es múltiplo de 37. Por ejemplo, para el 592: , con lo que comprobamos que es múltiplo de 37.

¿Y para los números de cuatro?

Sabemos que el 999 es múltiplo de 37, lo que quiere decir que también lo es el 1036. Si sumamos la cifra de los millares, obtendríamos el 37 que buscamos. En resumen, para los números de cuatro cifras, podemos aplicar las reglas originales siempre que antes sumemos el primer dígito (el de los millares) a los otros tres. Por ejemplo, el 4662 es múltiplo de 37 porque  (compruébalo y verás que )

¿¡Y para los de cinco o más cifras!?

Simplemente (¿he dicho simplemente?) se trata de generalizar la idea. Tan sólo hay que sumarlos en bloques de tres en tres, de izquierda a derecha, hasta que quede un número de tres cifras.

Supongamos que estoy tan aburrido que me apetece comprobar sin calculadora si el 1.978.834 es múltiplo de 37.

1.  Lo descompondría en bloques de tres cifras (rellenando con cifras a la izquierda si hace falta): 001, 978 y 834.
2. Sumaría los bloques: 
3. Repetiría el proceso: 
4. Aplicaría alguna de las reglas anteriores  ó 

¡Pero lo que realmente tiene mérito es atreverse a aplicarlo y explicarlo en Cifras y Letras!

Prometo no volver a hablar de números en un tiempo, que no es plan de ir espantando a los pocos lectores que tenemos…

Actualización:  Nos apunta nuestro amigo Raúl García Lires otro truco más para los números de seis cifras. Al parecer, serán divisibles por 37 los números de seis cifras de la forma ABCDEF que cumplan que  . Por ejemplo, 123765 es divisible por 37 porque  y en efecto