La sucesión de Fibonacci

¿Quién dice que la magia no existe? La vemos a diario pero no nos damos cuenta porque se camufla bajo el nombre de matemáticas. Es increíble como la única ciencia creada por y para el hombre explica tan bien la realidad.

La sucesión de Fibonacci se me antoja casi mágica, ¿cómo es posible que una sucesión de números descubierta por azar presente una cantidad tan grande de curiosas propiedades?

¿Qué no sabes que es la sucesión de Fibonacci o de qué propiedades te estoy hablando? Continúa leyendo y lo descubrirás.

Leonardo Pisano, conocido por el apodo de Fibonacci (figlio di Bonacci =  hijo de Bonacci), era un matemático italiano que trabajaba como contable en la empresa familiar y que es quien ideó la sucesión que lleva su nombre.

En 1202, escribió el Liber abaci (el libro del ábaco), un libro de calculo con el que intenta mostrar las ventajas del empleo de las cifras árabes frente a los métodos habituales de la época, es decir, el ábaco y los números romanos. Y realmente lo consiguió pero llevo mucho tiempo. Existen grabados del s. XVI donde aun se representan disputas entre algoristas y abacistas.

La primera vez que se ve la sucesión de Fibonacci es en el Liber abaci mientras Pisano buscaba solución al problema ‘¿Cuántas parejas de conejos tendremos a final de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?’. Como buen contable, para la resolución Pisano empleo una tabla y obtuvo los siguientes resultados:

Estos resultados no son relevantes en cuanto al problema pero si por si mismos. Se observa que en la columna final donde esta el total de parejas de conejos cada término se obtiene como suma de los dos anteriores que le preceden.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765…

Aparentemente no es más que otra serie más pero tiene una característica que es la que probablemente le da su condición mágica: la sucesión de Fibonacci se relaciona con la proporción áurea (Φ, phi). El cociente entre un término cualquiera de la sucesión y su antecedente se aproxima a Φ a medida que vamos avanzando por la serie. Desde que se planteó la sucesión se han ido descubriendo algunas curiosas y sorprendentes propiedades relacionadas con ella, cosa nada fácil. De hecho se tuvo que esperar hasta 1843, año en que Jacques Binet dio con el término general de la sucesión.

Si tomamos diez números consecutivos cualesquiera de la sucesión y los sumamos, el resultado obtenido siempre es un múltiplo de 11. Probando con los diez primeros lo comprobamos:

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143=11×13

Además, también se cumple que esa suma es exactamente 11 veces el término que ocupar la séptima posición del subconjunto elegido. En el caso anterior, 13 ocupa la séptima posición. Aun hay más, la suma de un numero n cualquiera de  términos de la sucesión desde el primero es igual al término que ocupa la posición n+2 tras restarle una unidad. En nuestro ejemplo, la suma de los diez elementos es 143, que es igual al término situado en doceavo lugar (144) menos 1.

La sucesión de Fibonacci también se relaciona con el teorema matemático más famoso de la humanidad, el teorema de Pitágoras. Existen infinitas ternas pitagóricas pero es muy difícil dar con ellas, pues la sucesión de Fibonacci nos da una manera de hacerlo rápida y sencilla. Para ello, debemos tomar cuatro términos  consecutivos cualesquiera de la sucesión y con ellos formar tres números. Por ejemplo, elegimos 2, 3, 5 y 8:

1. El producto de los dos extremos: 2·8=16
2. El doble del producto de los dos centrales: 2·(3·5)=30
3. La suma de los cuadrados de los dos centrales: 3²·5²=34

16, 30 y 34 forman una terna pitagórica: 16²=256, 30²=900, 34²=1156 -> 256+900=1156. Curioso, ¿verdad?

Algunas de esas propiedades dan lugar a resultados geométrico desconcertantes como el siguiente. Si escogemos tres términos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, al comparar la multiplicación de los dos extremos con el cuadrado obtenido del término central descubrimos que la diferencia es de una unidad, bien por arriba, bien por abajo. Eligiendo (3, 5, 8 ) y (5, 8, 13) lo podemos ver:

3·8=5²-1                                                     5·13=8²+1

Al aplicar esta propiedad de manera geométrica, observamos que ocurre algo raro, Si dibujamos un cuadrado de lado 8 y lo subdividimos en cuadrados de lado unidad tendremos 64 cuadrados. Parcelando en cuatro trozos la superficie y recolocando los fragmentos llegamos a un rectángulo de lados 13×5, es decir, de 65 cuadrados. Concretamente esta curiosidad ya nos la enseñó Pathfinder hace algún tiempo con un video.

También existen curiosas relaciones a la inversa, conceptos matemáticos que se relacionan con la sucesión de Fibonacci, no Fibonacci con ellos. Este es el caso del triangulo de Pascal. Mientras Pascal estudiaba el desarrollo de las potencias del binomio (a+b) auxiliado por su triangulo, descubrió que las diagonales del triangulo numérico suman los términos de la sucesión de Fibonacci.

Hay muchísimas propiedades interesantes acerca de la sucesión de Fibonacci y no hace falta ser un genio de las matemáticas para disfrutarlas. Dale una oportunidad a las matemáticas, que ya ves que no son tan aburridas como dicen.